[ad_1]
Книга, написанная крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом, переиздавалась в нашей стране и обрела в России популярность. Её загадочный подзаголовок гласит: «Элементарный очерк идей и методов».
Издание переведено с английского и вышло в свет под редакцией А. Н. Колмогорова в издательстве МЦНМО (Москва, 2015 г.)
Издатели от лица авторов сообщают, что «книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки».
Если на этот счет волнуются известные ученые, значит, разрыв действительно есть. Получается, школьники недополучают самые актуальные знания и на несколько шагов отстают от новых математических реалий.
Продолжаем читать аннотацию к креативному учебнику: «Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки.
Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.
Предыдущее издание вышло в 2013 г.»
Вы можете скачать книгу на нашем сайте. Чтобы составить себе впечатление о ее содержании, ознакомьтесь с оглавлением.
Что такое математика. Куррант, Роббинс
Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Оглавление
Предисловие к изданию на русском языке 10
К русскому читателю 14
Предисловие 16
Как пользоваться книгой 19
Ч т о т а к о е м а т е м а т и к а? 20
Гл а в а I. Натуральные числа 25
Введение 25
- 1. Операции над целыми числами 26
- Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
- 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция 34
- Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов.
*5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Д о п о л н е н и е к г л а в е I. Теория чисел 45
Введение 45
- 1. Простые числа 45
- Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.
- 2. Сравнения 57
- Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.
- 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма 65
- 4. Алгоритм Евклида 67
- Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики.
- Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
Гл а в а II. Математическая числовая система 77
Введение 77
- 1. Рациональные числа 77
- Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.
- 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 83
- Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Преде лы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа
и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррацио нальных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные мето ды определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.
- 3. Замечания из области аналитической геометрии 99
- Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.
- 4. Математический анализ бесконечного 104
- Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Кос венный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.
- 5. Комплексные числа 116
- Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы.
*4. Основная теорема алгебры.
- 6. Алгебраические и трансцендентные числа 130
- Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Д о п о л н е н и е к г л а в е II. Алгебра множеств 134
- Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
Гл а в а III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей 143
Введение 143
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 146
- 1. Основные геометрические построения 146
- Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.
- 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 153
- Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические.
- 3. Неразрешимость трех классических проблем 161
- Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Три секция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений 167
- 4. Геометрические преобразования. Инверсия 167
- Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое по строение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.
- 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони
с помощью одного циркуля 173
*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. По строения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды.
*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
- 6. Еще об инверсии и ее применениях 185
- Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.
Гл а в а IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии 191
- 1. Введение 191
- Классификация геометрических свойств. Инвариантность при пре образованиях. 2. Проективные преобразования.
- 2. Основные понятия 194
- Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.
- 3. Двойное отношение 198
- Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.
- 4. Параллельность и бесконечность 206
- «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
- 5. Применения 212
- Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля . 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.
- 6. Аналитическое представление 217
- Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
- 7. Задачи на построение с помощью одной линейки 223
- 8. Конические сечения и квадрики 224
- Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Про ективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как
«линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.
- 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия 240
- Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
П р и л о ж е н и е. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 253
- Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или ком бинаторный, подход.
Гл а в а V. Топология 261
Введение 261
- 1. Формула Эйлера для многогранников 262
- 2. Топологические свойства фигур 267
- Топологические свойства. 2. Свойства связности.
- 3. Другие примеры топологических теорем 270
- Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.
- 4. Топологическая классификация поверхностей 282
- Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.
П р и л о ж е н и е. 290
*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая много угольников. *3. Основная теорема алгебры.
Гл а в а VI. Функции и пределы 299
Введение 299
- 1. Независимое переменное и функция 300
- Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность.
*6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.
- Предел последовательности an. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непрерывные дроби.
- 3. Пределы при непрерывном приближении 330
- Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sin x . 4. Пределы при x → ∞.
- 4. Точное определение непрерывности 337
- 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 339
- Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Тео рема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о по следовательностях. Компактные множества.
- 6. Некоторые применения теоремы Больцано 344
- Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.
Д о п о л н е н и е к г л а в е VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 349
- 1. Примеры пределов 349
- Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел √n p. 4. Разрывные
функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.
- 2. Пример, относящийся к непрерывности 355
Гл а в а VII. Максимумы и минимумы 357
Введение 357
- 1. Задачи из области элементарной геометрии 358
- Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах.
- Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.
*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
- 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 366
- Принцип. 2. Примеры.
- 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 369
- Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.
- 4. Треугольник Шварца 375
- Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
- 5. Проблема Штейнера 382
- Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей.
- Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обоб щение: проблема уличной сети.
- 6. Экстремумы и неравенства 389
- Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положи тельных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.
- 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 394
- Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
- 8. Изопериметрическая проблема 401
*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между про блемой Штейнера и изопериметрической проблемой 404
- 10. Вариационное исчисление 407
- Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
- Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.
- Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
- 11. Экспериментальные решения задач на минимум.
Опыты с мыльными пленками 413
- Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, от носящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.
Гл а в а VIII. Математический анализ 425
Введение 425
- 1. Интеграл 426
- Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».
- 2. Производная 442
- Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры.
- Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной.
- Максимумы и минимумы.
- 3. Техника дифференцирования 455
- 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» 461
- 5. Основная теорема анализа 463
- Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для p.
- 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 471
- Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
- 7. Дифференциальные уравнения 482
- Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
- Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.
Д о п о л н е н и е к г л а в е VIII. 491
- 1. Вопросы принципиального порядка 491
- Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
- 2. Порядки возрастания 498
- Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).
- 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 501
- Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
*§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода 511
Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения 517
Арифметика и алгебра 517
Аналитическая геометрия 519
Геометрические построения 525
Проективная и неевклидова геометрия 525
Топология 527
Функции, пределы, непрерывность 530
Максимумы и минимумы 531
Дифференциальное и интегральное исчисления 533
Техника интегрирования 535
Добавление 1.
Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке 541
Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?» 544
Рекомендуемая литература 551
Предметный указатель
[ad_2]
